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最近我們被客戶要求撰寫關(guān)于風險價值的研究報告，包括一些圖形和統(tǒng)計輸出。

此示例說明如何使用三種方法估計風險價值 (VaR) 并執(zhí)行 VaR 回測分析。這三種方法是：

(資料圖)

正態(tài)分布

歷史模擬

指數(shù)加權(quán)移動平均線 (EWMA)

風險價值是一種量化與投資組合相關(guān)的風險水平的統(tǒng)計方法。VaR 衡量指定時間范圍內(nèi)和給定置信水平的最大損失量。

回測衡量 VaR 計算的準確性。使用 VaR 方法，計算損失預測，然后與第二天結(jié)束時的實際損失進行比較。預測損失和實際損失之間的差異程度表明 VaR 模型是低估還是高估了風險。因此，回測回顧數(shù)據(jù)并有助于評估 VaR 模型。

本示例中使用的三種估計方法在 95% 和 99% 的置信水平下估計 VaR。

加載數(shù)據(jù)并定義測試窗口

加載數(shù)據(jù)。本例中使用的數(shù)據(jù)來自標準普爾指數(shù)從 1993 年到 2003 年的時間序列收益率。

將估計窗口定義為 250 個交易日。測試窗口從 1996 年的第一天開始，一直持續(xù)到樣本結(jié)束。

對于 95% 和 99% 的 VaR 置信水平。

這些值意味著分別有至多 5% 和 1% 的概率發(fā)生的損失將大于最大閾值（即大于 VaR）。

使用正態(tài)分布方法計算 VaR

對于正態(tài)分布法，假設投資組合的損益呈正態(tài)分布。使用此假設，通過將每個置信水平的_z_分數(shù)乘以收益率的標準差來計算 VaR ?。由于 VaR 回溯測試對數(shù)據(jù)進行追溯，因此“今天”的 VaR 是根據(jù)過去_N_ ?= 250 天（但不包括“今天”）的收益率值計算得出的?。

正態(tài)分布方法也稱為參數(shù) VaR，因為它的估計涉及計算收益率標準差的參數(shù)。正態(tài)分布方法的優(yōu)點是簡單。然而，正態(tài)分布方法的弱點是假設收益率是正態(tài)分布的。正態(tài)分布方法的另一個名稱是方差-協(xié)方差方法。

使用歷史模擬方法計算 VaR

與正態(tài)分布方法不同，歷史模擬 (HS) 是一種非參數(shù)方法。它不假設資產(chǎn)收益的特定分布。歷史模擬通過假設過去的損益可以作為下一個收益期的損益分配來預測風險。“今天”的 VaR 計算為“今天”?之前?最后_N 次_收益率的?_第 p_個分位數(shù)?。

從上圖可以看出，歷史模擬曲線具有分段不變的輪廓。其原因是，在極端事件發(fā)生之前，量值在幾天內(nèi)不會發(fā)生變化。因此，歷史模擬方法對波動率的變化反應緩慢。

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Python蒙特卡羅（Monte Carlo）模擬計算投資組合的風險價值（VaR）

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使用指數(shù)加權(quán)移動平均法 (EWMA) 計算 VaR

前兩個 VaR 方法假設所有過去的收益率都具有相同的權(quán)重。指數(shù)加權(quán)移動平均 (EWMA) 方法分配不相等的權(quán)重，尤其是指數(shù)遞減的權(quán)重。最近的收益率具有更高的權(quán)重，因為它們對“今天”收益率的影響比過去更遠的收益率更大。大小估計窗口上的 EWMA 方差公式?

是：

是歸一化常數(shù)：

為方便起見，我們假設一個無限大的估計窗口來近似方差：

實踐中經(jīng)常使用的衰減因子的值為0.94。這是本示例中使用的值。

啟動 EWMA 設置標準偏差。

在測試窗口中使用 EWMA 來估計 VaR。

在上圖中，EWMA 對大（或小）收益率時期的反應非常迅速。

VaR回測

在本示例的第一部分中，使用三種不同的方法和兩種不同的 VaR 置信水平在測試窗口上估計了 VaR。VaR 回測的目標是評估 VaR 模型的性能。95% 置信度的 VaR 估計值僅在大約 5% 的時間內(nèi)被違反。VaR 失敗的集群表明缺乏跨時間的獨立性，因為 VaR 模型對不斷變化的市場條件反應緩慢。

VaR 回測分析中常見的第一步是將收益率和 VaR 估計值繪制在一起。在 95% 的置信水平上繪制所有三種方法，并將它們與收益率進行比較。

為了突出不同的方法如何對不斷變化的市場條件做出不同的反應，您可以放大收益率值發(fā)生巨大和突然變化的時間序列。例如，大約在 1998 年 8 月：

當收益為負 VaR 時，就會發(fā)生 VaR 失敗。仔細觀察 8 月 27 日至 8 月 31 日，會發(fā)現(xiàn)收益率顯著下降。從 8 月 27 日起，EWMA 更密切、更準確地跟蹤收益率趨勢。因此，與正態(tài)分布方法（7次失敗，藍色）或歷史模擬方法（8次失敗，紅色）相比，EWMA 的 VaR 失敗（2)次失敗，紫色）較少。

除了可視化工具，您還可以使用統(tǒng)計測試進行 VaR 回測。在此示例中，首先比較正態(tài)分布方法在 95% 和 99% VaR 水平下的不同測試結(jié)果。

摘要報告顯示觀察到的水平與定義的 VaR 水平足夠接近。95% 和 99% VaR 水平至多具有期望失敗，其中?N?是觀察次數(shù)。失敗率表明? VaR 水平在范圍內(nèi)，而? VaR 水平不精確并且低估了風險。運行所有支持的測試?(1-VaR_level) x?_N_

95%的VaR通過了測試，如二項式和失敗比例測試（TL、BIN和POF列）。99%的VaR沒有通過這些相同的測試，如拒絕結(jié)果所示。在條件覆蓋率獨立性和間隔時間獨立性（ci和tbfi列）中，兩個置信度都被拒絕。這個結(jié)果表明，VaR的違反不是獨立的，可能在短時間內(nèi)有多次失敗的時期。另外，一次失敗可能會使其他失敗在隨后的日子里更有可能發(fā)生。

在兩個 VaR 置信水平下對三種方法的投資組合運行相同的測試。

結(jié)果和之前的結(jié)果差不多，在95%的水平上，結(jié)果基本可以接受。然而，在 99% 水平的結(jié)果通常是拒絕。關(guān)于獨立性，大多數(shù)測試通過了條件覆蓋獨立性測試，連續(xù)幾天測試獨立性。請注意，所有測試都失敗了獨立性測試之間的時間間隔，它考慮了所有失敗之間的時間。這個結(jié)果表明所有方法都存在獨立性假設的問題。

為了更好地了解這些結(jié)果如何在市場條件下發(fā)生變化，請查看 2000 年和 2002 年的 95% VaR 置信水平。

2000年，這三種方法都通過了所有的測試。但是，2002 年的測試結(jié)果大多是所有方法都被拒絕。EWMA 方法似乎在 2002 年表現(xiàn)更好，但所有方法都未能通過獨立性測試。

要更深入地了解獨立性測試，請查看條件覆蓋獨立性和失敗間隔時間獨立性2002 年的測試詳細信息。運行各個測試功能。

在 CCI 測試中，知道在時間_t_ -1沒有失敗的情況下，??在時間_t_發(fā)生失敗?的概率?p?由下式給出01

在時間_t_發(fā)生失敗?的概率?p?，知道在時間_t_ -1發(fā)生失敗，?由下式給出11

從?測試結(jié)果中的N00,?N10,??N01,?N11列來看?，??三種方法的_p_?值?01都在 5% 左右，而_p_?值?11都在 20% 以上。因為有證據(jù)表明一個失敗之后出現(xiàn)另一個失敗的頻率遠高于 5%，所以這個 CCI 測試失敗了。

在失敗間隔時間獨立性測試中，查看失敗間隔時間分布的最小值、最大值和四分位數(shù)，在TBFMin、??TBFQ1、??TBFQ2、??TBFQ3、?列中?TBFMax。

對于 95% 的 VaR 水平，您預計失敗之間的平均時間為 20 天，或每 20 天發(fā)生一次失敗。但是，對于這三種方法，2002 年的失敗間隔時間的中位數(shù)介于 5 到 7.5 之間。該結(jié)果表明，在一半的情況下，連續(xù)兩次失敗發(fā)生在 5 到 7 天內(nèi)，比期望的 20 天要頻繁得多。因此，會發(fā)生更多的測試失敗。對于正態(tài)方法，第一個四分位數(shù)是 1，這意味著 25% 的失敗發(fā)生在連續(xù)幾天。

參考

Danielsson, J.?金融風險預測：預測市場風險的理論和實踐。威利財經(jīng)，2012 年。

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本文選自《Matlab正態(tài)分布、歷史模擬法、加權(quán)移動平均線 EWMA估計風險價值VaR和回測標準普爾指數(shù) S&P500時間序列》。

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